Equation diophantienne

Tout comme le cas du forum du supérieur, ce forum qui fait suite au système QR pour les mathématiques au lycée va permettre de poser des questions particulièrement non bien comprises afin d'en rendre des détails plus fins et des constatations qui pourraient faciliter le plus possible la tâche de compréhension.
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Question
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Equation diophantienne

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Est ce qu'il existe une méthode de résolution de l'équation diophantienne $17 x - 5y =1$ sans utiliser une solution particulière et le théorème de Gauss ?

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Re: Equation diophantienne

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$\def\cax#1#2{\left\{\begin{array}{l}#1\\#2\end{array}\right.}$$17 x - 5 y = 1 \eq 2x + 5(3x-y)=1 \eq 3x-y + 2(7x-2y)=1 \eq \cax{ X + 2 Y=1}{\cax{X=3x-y}{Y=7x-2y}}$.
Par résolution du système $\cax{X=3x-y}{Y=7x-2y}$ on obtient $x$ et $y$ en fonction de $X$ et $Y$ et comme $X=1-2Y$, on obtient $x$ et $y$ en fonction de $k=Y$.

On a $\cax{x=-2X+Y=-2(1-2Y)+Y=-2+5Y}{y=-7X+3Y=-7(1-2Y)+3Y=-7+17Y}$. Donc l'ensemble de solution de l'équation proposée est: $$S=\{(-2+5 k, -7+17k)/ k \in \mathbb{Z} \} $$

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