Rang d'une matrice diagonale

Le système question réponse n'est pas comme la rubrique des exercices car ici il est possible de poser toutes les questions mathématiques qui vous préoccupent, même des questions de cours par exemple: Le fait d'isoler une question sur un sujet permet de le zoomer plus et par suite de constater d'autres détails qui n'auraient pas pu être perçus à l'occasion de la lecture de son cours ...
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Question
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Rang d'une matrice diagonale

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Comment démontrer que la rang d'une matrice diagonale est égal au nombre de ses termes diagonaux non nuls comptés avec leur éventuelle multiplicité, autrement dit si $D=\text{diag}(\la_1,\dots, \la_n)$ avec $n\in\N^*$ et $\la_1,\dots,\la_n\in\K$, alors $\text{rg}(D)=\text{card}\{i\in [\![1,n]\!] / \la_i\neq 0\}$ ?

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Réponse
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Re: Rang d'une matrice diagonale

Message par Réponse »

Notons $r=\sharp\{k\in[\![1,n]\!]/\la_k\neq 0\}$.
$\bullet$ Si $r=0$ alors les $\la_k$ sont tous nuls alors $D=O$ et $\text{rg}(A)=0=r$.
$\bullet$ Si $r=n$ alors tous les $\la_k$ sont non nuls, donc $\det(D)=\prod\limits_{k=1}^n \la_k\neq 0$, donc $D$ est inversible et $\text{rg}(D)=n=r$.
$\bullet$ Si $0 < r < n$, il y'a en même temps des $\la_k$ nuls et d'autres non nuls. Puisque le rang d'une matrice ne change pas si on permute ses colonnes, on peut renuméroter les $\la_k$ de sorte que $\la_k\neq 0$ si $1\leq k \leq r$ et $\la_k=0$ si $r+1\leq k \leq n$. Les colonnes $C_k$ sont nulles pour tout $k$ tel que $r+1\leq k\leq n$, donc $\text{rg}(D)=\text{rg}(C_1,\dots,C_r)$. Or, pour tout $\al_1,\dots,\al_r\in \K$ on a $\sum\limits_{k=1}^r \al_k C_k=\begin{pmatrix}\al_1\la_1\\\vdots\\\al_r\la_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$, donc si $\sum\limits_{k=1}^r \al_k \la_k=0$ alors $\al_1\la_1=\dots=\al_r\la_r=0$, et puisque $\forall k\in [\![1,r]\!], \la_k\neq 0$ on a $\al_1=\dots=\al_n=0$, d'où la famille $(C_1,\dots, C_r)$ est libre. Donc $\text{rg}(D)=\text{rg}(C_1,\dots, C_r)=r$.
Il en découle que dans tous les cas, on a $\text{rg}(D)=r$.

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