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Matrice symétrique, trace et rang

Publié : mar. juil. 21, 2020 6:26 pm
par Mohamed
Soit $n\in \N^*$ et $A\in\mcs_n(\R)$. Démontrer que $(\text{tr}(A))^2 \leq \text{rg}(A)\text{tr}(A^2)$.

Re: Matrice symétrique, trace et rang

Publié : mar. juil. 21, 2020 6:54 pm
par Mohamed
$\def\tr{\text{tr}}\def\rg{\text{rg}}\def\diag{\text{diag}}$Si $A=0$, la relation est claire. Si $0< \rg(A) < n$, la matrice $A$ étant symétrique réelle, elle est diagonalisable et admet une liste de valeurs propres réelles comptées avec leur ordre de multiplicité $\la_1,\dots, \la_r, \la_{r+1},\dots,\la_n$ tel que $\la_k=0$ pour tout $k\in [\![r+1,n]\!]$. Comme $A=PDP^{-1}$ avec $$D=\diag(\la_1,\dots,\la_n).$$ On a $$\tr(A)=\sum\limits_{k=1}^r \la_k$$ et $\tr(A^2)=\sum\limits_{k=1}^r \la_k^2$. L'inéglaité de Cauchy-Schwarz permet de dire que $$\left(\sum\limits_{k=1}^r \la_k\right)^2 \leq \sqrt r \sum\limits_{k=1}^r \la_k^2,$$ ce qui donne l'inégalité désirée, le raisonnement étant valable même si $n=r$.