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Une semie norme
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
Mohamed
mer. oct. 23 2013, 01:52


Membre enregistré #1
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Messages: 201
Soit l'espace des applications réelles continues sur muni de a norme de convergence uniforme et soit Soit définie par
1) Montrer que est une semi-norme sur .
2) Montrer que est une norme si et seulement si l'ensemble des zeros de est d'interieur vide.

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OuldYoubba
sam. mars 05 2016, 10:56

Membre enregistré #471
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Messages: 6
Salamou Alaikoum !

1) Montrons que est une norme sur :
Soit et
  • Comme et sont continues sur , alors est continue - et donc integrable - sur , d'où .


  • On a :
    .


  • On a :


Ainsi est une semi-norme sur .

2) On pose
  • Supposons que .
    Soit telle que . Donc :

    et comme est une fonction continue positive, alors on et donc .
    Si , alors il existe tel que .
    Comme est continue sur , alors il existe un intervalle ouvert non vide inclus dans tel que pour tout .
    Or : donc pour tout , donc et par suite . Absurde !
    Ainsi .

    D'où est une norme sur .





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    OuldYoubba
    sam. mars 05 2016, 12:09

    Membre enregistré #471
    Inscrit(e) le: jeu. avril 09 2015, 08:01
    Messages: 6
    Enfin j'ai trouvé une idée pour l'autre sens :)

    Supposons que
    Il existe donc un intervalle ouvert non vide (avec ) tel que , et donc pour tout .
    On définit la fonction sur [a,b] par :




    <div class='spacer'></div>

    On a est continue non nulle sur et on a :


    Ainsi n'est pas une norme sur .
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    OuldYoubba
    sam. mars 05 2016, 12:23

    Membre enregistré #471
    Inscrit(e) le: jeu. avril 09 2015, 08:01
    Messages: 6
    J'ai une question : le fait que E est muni de la norme de convergence uniforme est-il utile ici ?
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    Mohamed
    dim. mars 06 2016, 12:12


    Membre enregistré #1
    Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
    Messages: 201
    Salam S Mohamed
    Ravi de te revoir et merci pour tes réponses toujours bien faites.
    Tu as raison, il n'y a aucune utilité pour la norme de convergence uniforme. D'ailleurs la norme de convergnece en moyenne n'est pas non plus préviligiée car la question peut se généraliser comme suit:

    Soit une norme quelconque de l'espace vectoriel et une application continue. Pour tout On pose .
    1) Montrer que est une semi-norme sur
    2) Montrer que est une norme si et seulement si ensemble des zéros de est d'intérieur vide.


    On peut dire que c'est plutôt une question d'algèbre car tout revient à chercher les diviserus de zéro de l'anneau
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    OuldYoubba
    dim. mars 06 2016, 01:28

    Membre enregistré #471
    Inscrit(e) le: jeu. avril 09 2015, 08:01
    Messages: 6
    Salam mon professeur Mohamed :
    Merci pour votre message et pour votre remarques importants.
    On peut poses cette question :
    Quelle est la condition pour laquelle les normes et sont équivalentes ?

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