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Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
Chaima
sam. déc. 24 2016, 06:35

Membre enregistré #860
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Messages: 6
|f(x)-f(y)|<x/y determiner tout les finctions
x,y€R*+ f est definit de R*+ a R
des indicatiions pour cette question svp
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nmo
sam. déc. 08 2018, 05:54

Membre enregistré #211
Inscrit(e) le: dim. juin 22 2014, 12:50
Messages: 11
Chaima a écrit ...

|f(x)-f(y)|<x/y determiner tout les finctions
x,y€R*+ f est definit de R*+ a R
des indicatiions pour cette question svp


Voici ma proposition de solution:
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels strictement positifs. On a: $\left|f(a) - f(c)\right| < \frac{a}{c}$ et $\left|f(b) - f(c)\right| < \frac{b}{c}$.
En sommant ces deux inégalités, on obtient: $\left|f(a) - f(c)\right| + \left|f(b) - f(c)\right| < \frac{b+a}{c}$.
En utilisant l'inégalité triangulaire, on trouve: $\left|f(a) - f(b)\right| \le \left|f(a) - f(c)\right| + \left|f(c) - f(b)\right| < \frac{b+a}{c}$.
En faisant tendre $c \to +\infty$, on obtient: $\left|f(a) - f(b)\right| \le 0$. D'où $f(b) = f(a)$.
Puisque $a$ et $b$ sont des réels positifs quelconques, la fonction $f$ est constante.
Réciproquement, on vérifie que les fonctions constantes sont bien des solutions.
Sauf erreurs.

[ Édité sam. déc. 08 2018, 06:14 ]
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