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Une intégrale à calculer
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
Mohamed
mar. janv. 19 2016, 01:36


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Je propose au forum l'intégrale : à calculer en restant dans le cadre du programme des classes prépartaoires première et deuxiéme année. Ici est un entier naturel tel que
-------------------------------
Voici d'autres questions qu'on peut faire sans avoir à calculer explicitement
1) Prouver que l'intégrale existe et que la suite est convergente en calculant sa limite .
2) Prouver que la série de terme général est absolument convergente.
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karochta
jeu. janv. 21 2016, 02:42

Membre enregistré #689
Inscrit(e) le: sam. janv. 09 2016, 10:38
Messages: 6
Bonjour
La méthode consiste à décomposer en éléments simple la fraction sous l'intégrale dans $\C(X)$ en cherchant les racines néme de $-1$, puis regrouper les termes conjuguer pour avoir la décomposition dans $\R(X)$, mais ce la nécessite une discutions sur la parité de $n$, pour ce la on effectue le changement de variable $t=x^2$ on obtient
$$I_n:=2\int_0^{+\infty}\frac{x}{x^{2n}+1}\ dx$$
maintenant on peut décompose la nouvelle fraction dans $\R(X)$ sans avoir discuter la parité de $n$, le reste c'est un calcule des primitifs du genre
$$\int\frac{a_kx+b_k}{x^2-2c_kx+1}$$
avec
$$a_k:=\cos\Big(\frac{(2k+1)\pi}{n}\Big)\quad;\quad b_k:=\cos\Big(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Big)\quad;\quad c_k:=\cos\Big(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Big)$$

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Liebert
dim. janv. 24 2016, 11:47

Membre enregistré #625
Inscrit(e) le: jeu. oct. 08 2015, 10:09
Messages: 1
un problème de la biblio klub prépa s’intéresse à ce sujet , on utilise une longue méthode calculatoire par les fractions rationnelles pour démontrer l'équivalence de I(n) avec Pi/nsin(Pi/n) (on n'a pas cité le concours d'ou il est tiré )
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Mohamed
lun. janv. 25 2016, 01:28


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Merci karochta pour les idées pour calculer cette intégrale sans distinguer deux cas.
Merci, Liebert, pour l'information.Si tu es interessé voici un lien vers une épreuve où figure cette question.
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karochta
mar. févr. 09 2016, 10:42

Membre enregistré #689
Inscrit(e) le: sam. janv. 09 2016, 10:38
Messages: 6
Bonjour;

Une question supplémentaire. Calculer la limite de la suite de fonctions $(I_n)_n$ définie sur $\{x\geq 0\}$ par
$$I_n(x):=\int_0^x\frac{1}{t^n+1}\ dt$$
La convergence est-elle uniforme ?
Comparer en suite les limites
$$\lim_{x\to+\infty}\lim_{n\to+\infty}I_n(x)\quad\text{et}\quad
\lim_{n\to+\infty}\lim_{x\to+\infty}I_n(x)$$
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karochta
jeu. févr. 25 2016, 11:32

Membre enregistré #689
Inscrit(e) le: sam. janv. 09 2016, 10:38
Messages: 6
Bonjour;

Indications.
1) Montrer d'abord que pour $x\in]0,1[$
$$\lim_{n\to+\infty}I_n(x)=1$$
2) (a) Fixer $\varepsilon\in]0,1[$ et monter que pour $n\in\N^*$
$$|I_n(1)-1|\leq|I_n(1-\varepsilon)-1|+\varepsilon$$
(b) En déduire que $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n(1)=1$
3) Montrer que pour $\alpha,\beta>1$
$$\lim_{n\to+\infty}|I_n(\alpha)-I_n(\beta)|=0$$
4) Dézormé $x>1$. Soit $\varepsilon\in]0,1[$
(a) Montrer que pour $n\in\N^*$
$$|I_n(x)-1|\leq|I_n(1)-1|+|I_n(x)-I_n(1+\varepsilon)|+\varepsilon$$
(b) En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n(x)$.
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