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Exercice niveau sup
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
HassanAyoube
sam. janv. 09 2016, 11:09

Membre enregistré #690
Inscrit(e) le: sam. janv. 09 2016, 11:01
Messages: 1
Bonjour;
Je propose au forum l’exercice suivant

Montrer que toute fonction de vers croissante additive est linéaire
Additive i.e. pour tout réels .

[ Édité dim. janv. 10 2016, 11:49 ]
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casaben
dim. janv. 10 2016, 09:07

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
est additive ce qui est équivalent a est un homomorphisme de groupe
conséquence et pour tout de
donc pour tout
soit et .
on a et par suite
ce qui résulte Conclusion pour tout
On va montrer pour . Comme est croissante, on a forcément .
On va donc distinguer deux cas a savoir puis
Si
soit il existe tel que
densité de dans

on a est croissante
et ainsi ce qui donne
et après pour tout ce qui prouve que
Si
pour , il existe tel que densité de dans
est croissante
CQFD


[ Édité mar. janv. 12 2016, 01:03 ]
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Mohamed
dim. janv. 10 2016, 11:56


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Merci pour cette question et la réponse donnée ci-dessous, qui n'utilise aucune théorème hors programme de MPSI.
Une autre façon de faire est de prouver d'abord que admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point de et la densité de dans .
Pour démontrer l'existence de telles limites, on peut proposer:
Soit croissante et soit . L'ensemble est une partie non vide majorée (par f(a) par exemple) de . Soit . De même soit .
Il est aisé de prouver que et , en utilisant les définitions des bornes sup et inf et le fait que est croissante.

[ Édité lun. janv. 11 2016, 02:46 ]
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casaben
mar. janv. 12 2016, 06:02

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
salut
Très bonne résultat toute fonction monotone admet une limite a droite et une limite a gauche d'un points et de plus l'ensemble des points de discontinuité est dénombrables.
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Mohamed
mar. janv. 12 2016, 01:07


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Oui , casaben, l'ensemble des fonctions monotones sur un segment [a,b] est un sous-ensemble de celui des fonctions réglées, lesquelles sont exactement les limites uniforme de suites de fonctions en escalier, ce qui impose les propriétés citées (existence des limites à droite et à gauche et le caractère dénombrable des points de discontinuité).
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casaben
mar. janv. 12 2016, 01:53

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
On peux utiliser aussi une proposition en Topologie générale
Dans un espace topologique séparable.Alors toute famille d'ouverts non vides deux a deux disjoints est au plus dénombrable.
Application
le cas ou F est croissante
1- On pose A ensemble des X de R tel que F(X-) < F(X+)
2- Ensemble des point de discontinuité est A
3- on applique le résultat de Topologie R qui séparable et l'ensemble des ouverts non vide et disjoints les intervalles ouverts d’extrémité F(X-) et F(X+) pour les X de A ensemble de point discontinuités
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