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hauteur
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
mona
sam. oct. 03 2015, 10:12

Membre enregistré #289
Inscrit(e) le: lun. sept. 22 2014, 01:47
Messages: 17
Bonjour Mohammed,je suis entrain de reviser pour l'examen d'algebre et je n'arrive pas à trouver la reponse de l'exercice suivant:

Soit A un anneau Noeth erien avec 1#0. Montrer l’equivalence des ́enoncés suivants:
(a) A est intègre.
(b) Pour tout idéal a # 0 de A, et tout idéal premier p ⊂ A le contenant,ht(p/a) < ht(p)
(c) Pour tout idéal a # 0 de A, et tout idéal maximal m ⊂ A le contenant,ht(m/a) < ht(m)
pouvez vous s'il vous plait m'aider à prouver ces equivalences:
merci en avance
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Mohamed
dim. oct. 04 2015, 12:17


Membre enregistré #1
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Messages: 201
Salut mona, je viens de répondre à ta question posée ici (clique)
J'examinerai après celle de ce topic
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mona
dim. oct. 04 2015, 02:36

Membre enregistré #289
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Messages: 17
Bonjour Mohamed,
pour cette question voici ce que j'ai fait:
[img]hauteur1.jpg[img]


pouvez vous me corriger ma reponse et m'aider à terminer la suite?
merci

[ Édité dim. oct. 04 2015, 02:40 ]
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Mohamed
dim. oct. 04 2015, 02:44


Membre enregistré #1
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Messages: 201
l'image ne s'affiche pas ...

Est ce que tu as compris la question d'éléments associés que je viens de t'expliquer ?



Pour l'image ce n'est pas comme ça: il faut l'hébérger et mettre le lien hypertexte entre les balises comme ça:

[img]Aresse de l'image ici [/img]


ou alors envoie moi un message privé et met l'image en fichier attaché.

[ Édité dim. oct. 04 2015, 02:50 ]
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mona
dim. oct. 04 2015, 03:28

Membre enregistré #289
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salut





[ Édité dim. oct. 04 2015, 07:54 ]
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Mohamed
lun. oct. 05 2015, 12:23


Membre enregistré #1
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Messages: 201
Salut mona.
1) Pourquoi tu as écrit $\mathfrak p=(a,b)$? les hypothéses disent que l'anneau $A$ notherien, donc $\mathfrak p$ de type fini mais pas forcément engendré par deux éléments, tu peux donc te contenter se supposer qu'il contient un idéal premier $\mathfrak p'$ engendré par deux irréductible avec $\mathfrak a \subset \mathfrak p'$.
2) Tu as écrit $a,b \in A^*$, donc pour toi $A^*$ c'est $A \backslash\{0\}$ et non pas les inversibles (un inversible n'engendre que $A$ lui même). Tu as ensuite écrit après $p_1=ap_2$ avec $a\in A^*$, donc $A^*$ designe ici le groupe des inversible: il faut être clair là dessus.
3) Dans tes preuves tu n'a pas utilisé $\mathfrak p / \mathfrak a$. D'ailleurs puisque on parle de la hauteur de cet idéal, as tu penser d'abord à voir s'il est premier en tant qu'ideal de ... ( quel anneau ?) ? (le cours devrait parler de ça, mais il est toujours bien de faire de telles verifications pour se bien situer ...)


[ Édité lun. oct. 05 2015, 02:47 ]
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Mohamed
lun. oct. 05 2015, 03:47


Membre enregistré #1
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Messages: 201

Indication pour a) $\im b)$ :

S'il existe $s \in \N^*$ et des idéaux premiers $\def\uu{\mathfrak u}$ $\uu_k, k=0,..., s$ de l'anneau $\def\aa{\mathfrak a}$ $A/ \aa \def\pp{\mathfrak p}$, tel que $\def\incs{\mathop\subset\limits_{\neq}}$ $$0 \incs \uu_1 \incs \cdots \incs \uu_{s-1} \incs \uu_s= \pp/\aa$$
On dispose de $x_1,\cdots, x_s \in A/\aa$ tel que :$$\forall j \in \{1,\dots,s\} \quad x_j \in \uu_j \bsl u_{j-1}$$
Si on pose $$ x_j=b_j + \aa, \forall j \in \{1,\cdots, s\}$$ les $b_j$ étant choisis irréductibles, chose que tu justifiera en utilisant que $A$ est noetherien et intègre, on dispose de la suite des idéaux de $A$ définis par $\def\iiii{\mathfrak i}$ $$\iiii_k=Ab_1 + \cdots + Ab_k$$



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mona
lun. oct. 05 2015, 06:19

Membre enregistré #289
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Messages: 17
Bonjour les reponses que j'ai donner sont pour cettequestion:
soient A un anneau factoriel , p un ideal premier .on suppose que p soit engendré par deux elements mais sans etre principal.
montrer l'equivalence entre a) ,b) et c)
a)p est engendré par deux elements irreductibles
b) ht(p)=2
c) p(2)=p2
pouvez vous m'aider s'il vous plait?
merci
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