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localisation d'un anneau
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
mona
lun. sept. 28 2015, 09:56

Membre enregistré #289
Inscrit(e) le: lun. sept. 22 2014, 01:47
Messages: 17
Bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider à demontrer cette equivalence:
soient A un anneau commutatif et a dans A .on note Aa la localisation de A par S ={an, n dans N}
sachant que A[x]/(ax-1) est isomorphe à Aa
montrer que
Aa #0 si et seulement si a n'est pas nilpotent
merci en avance
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Mohamed
lun. sept. 28 2015, 11:16


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Tu peux remarquer que si est nilpotent il existe un entier naturel tel que et , alors le polynôme est inversible d'inverse (tu peux vérifier cela directement en faisant le produit , mais l'idée provient de la série formelle: , et comme est nilpoent cette série s'arrête dés .)
Le fait que est inversible donne est un singleton, en effet divise tout élément de , puisque .
Pour la réciproque, tu as tout le matériel pour la faire:
- Tu montres que si est un singletons alors est inversible (Indication: Il y'a une unique classe d'équivalence donc et ont la même classe, donc , ce qui te donne un polynôme tel que et du coup tu as inversuble (termine)).
- Tu nommes l' inverse de et tu exprimes ce que veut dire sous forme de relations entre les coefficients, ce qui te donne , donc est nilpotent.

[ Édité lun. sept. 28 2015, 11:39 ]
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