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Groupe de cardinal pq
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
Mohamed
sam. sept. 19 2015, 08:20


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Soit un groupe de cardinal avec et des nombres premiers tel que . Supposons que et sont deux sous groupes de tous les deux de cardinal . On se propose de prouver que . Pour cela on suppose le contraire.
  1. Montrer que et sont cycliques. On pose et .
  2. Justifier que et
  3. Soit . Démontrer que est une parte de et que
  4. Conclure.


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casaben
mer. janv. 13 2016, 04:49

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
Salam ,
1- H et K deux sous groupes de G de cardinale q premier
Puisque les groupes non réduit a l’élément neutre e donc ils sont cycliques (d’après Théorème de Lagrange)
et par conséquent est Abélien.
En plus l’existence d'un tel groupe de cardinal q premier divisant l'ordre de G ( Lemme de Cauchy).
2-On raisonne par absurde supposons que H est différent de K donc b n’appartient pas a H et a n’appartient pas a K
3-S est une partie de G de cardinal q au carré > pq (car q>p)

Il y a une autre démonstration en appliquant le théorème de Sylow
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casaben
mer. janv. 13 2016, 09:04

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
Salam,
Pour plus de précision de la réponse pour la question 2 car si a appartient a K ou b appartient a H les deux sous-groues H et K sont égaux
En effet,
Si b appartient a H donc le sous engendré par b qui est K est contenu dans H.
or H et K ont même cardinal
donc H et K sont égaux.
Meme raisonnement pour a s'il appartient a K
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karochta
mer. janv. 13 2016, 10:41

Membre enregistré #689
Inscrit(e) le: sam. janv. 09 2016, 10:38
Messages: 6
Salam

Je rappelle d'abord que si $G$ un groupe finie et $A$ un sous groupe de $G$ dont l'indice est le plus petit entier premier divisant l'ordre de $G$, alors $A$ est distinguer, ce qui est réaliser pour $H$ et $K$, par suite $HK$ est aussi un sous groupe de $G$, le deuxième théorème d'isomorphisme s'applique, de sorte que $$|HK|.|H\cap K|=|H|.|K|=q^2$$
donc $|HK|$ divise $q^2$, comme $H K$ est un sous groupe de $G$, donc son ordre divise $pq$, ainsi l'ordre de $HK$ ne peut être que 1 ou $q$, mais alors $H$ est un sous groupe de $HK$ donc l'ordre de $HK$ est forcement $q$, ainsi $HK=K$, par suite $K$ contenu dans $H$, vu l'ordre de $H$ et $K$ ils sont égales.
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casaben
mer. janv. 13 2016, 02:46

Membre enregistré #688
Inscrit(e) le: ven. janv. 08 2016, 02:12
Messages: 8
Salam ,
Tu as raison on peut appliquer le théorème de Sylow
soit un groupe de cardinal de produit d'une puissance d'un nombre premier p par un nombre premier tel que m ne divise pas m
Si H un p-Sylow de G on a équivalence suivante
1- H est distinguer
2- H est l'unique p-Sylow
3- le nombre de p-Sylow est 1
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OuldYoubba
lun. oct. 23 2017, 10:46

Membre enregistré #471
Inscrit(e) le: jeu. avril 09 2015, 08:01
Messages: 6
Salam !

Mohamed a écrit ...

Soit un groupe de cardinal avec et des nombres premiers tel que . Supposons que et sont deux sous groupes de tous les deux de cardinal . On se propose de prouver que . Pour cela on suppose le contraire.
  1. Montrer que et sont cycliques. On pose et .
  2. Justifier que et
  3. Soit . Démontrer que est une parte de et que
  4. Conclure.






Pour la question 3 on peut définier la fonction de vers par :

Cette application est surjective par construction, et comme et , alors elle est injective.
Ainsi elle est bijective et donc :

والله تعالى أعلم
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Mohamed
ven. oct. 27 2017, 03:54


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Salam cher Mohamed! Merci pour ta question et désolé de ne pas avoir répondu avant ce jour(je n'avais pas visité le forum).
Comment tu as déduit que injective du fait qu'elle est surjective. On peut faire ça si les ensembles de départ et d'arrivé ont le même cardinal, or on n'a pas encore d'idée sur le cardinal de .
Personnellement, je propose de démontrer directement que est injective.
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