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Hyperplan stable
Modérateurs:Mohamed
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AliJouahri
mer. déc. 25 2013, 11:39

Membre enregistré #133
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Messages: 11
Bonjour,
Soit u un endomorphisme dans un K-ev E de dimension finie n.
Peut on trouver un hyperplan de E qui soit u-stable ?
Càd une base où la matrice de u soit (par blocs) sous la forme de AB 0C
Avec A une matrice de Mn-1(K) B dans Mn-1,1(K) et C dans M11(K).

Mes idées :
Dans Mn(C) ça marche , car u est trigonalisable. Dans Mn(R) par contre...


[ Édité jeu. déc. 26 2013, 08:34 ]
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AliJouahri
jeu. déc. 26 2013, 12:20

Membre enregistré #133
Inscrit(e) le: mar. nov. 05 2013, 12:56
Messages: 11
Si ce résultat est valable on peut démontrer qu'un hyperplan est u-stable ssi il est noyau d'un vecteur propre de transposé de u , et ce , par récurrence sur la dimension de E.
- L'initialisation est triviale.
-L'hérédité :
Supposons le résultat établi pour tout espace de dimension n-1 , et prenons E un K-ev de dimension n.
Soit H un hyperplan u-stable de E , et soit u/H l'endomorphisme induit sur H par u.
Si le résultat précédent est valable , alors il existe un hyperplan H' de H qui soit u-stable , et d'après l'hypothèse de récurrence , il existe une forme linéaire dans H , notons la phi , dont H' est noyau et qui est vecteur propre de t(u/H) si bien que
phi o u = a phi
Il suffit de prolonger phi sur E par une application psi telle que (soit v un vecteur directeur du supplementaire de H)
psi(x) = phi(x) si x est dans H
psi(v) = c (qu'on determinera)

psi doit etre un vecteur de propre de tu , l'égalité est vérifié pour x dans H , on va choisir c de telle sorte que psi reste un vecteur propre de tu.
on doit donc avoir psi(u(v)) = ac
soit d la composante de u(v) selon v , et e la composante de u(v) selon la droite vectorielle qui complète H' dans H , notons h' un vecteur directeur de cette dernière (v et h' sont les seuls vecteurs de la base adaptée à la décomp. E=H+<v> qui ont une image non nulle par psi)
psi(u(v)) = d psi(v) + e psi(h') = dc + e phi(h') = ac
donc on prendra , si a different de d c = e/(a-d) phi(h') , sinon n'importe quelle valeur de c convient.

On a ainsi construit une forme linéaire psi , vecteur propre de tu , tq H = ker psi.




[ Édité jeu. déc. 26 2013, 12:46 ]
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Mohamed
jeu. déc. 26 2013, 08:59


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Salut
Le résultat est faux pour déjà. En effet en dimension , les hyperplans sont les droites et l'existence d'une droite stable pour veut dire a au moins une valeur propre, chose non toujours varie si le corps de base est

Si cela peut t'aider on a : tout endomorphisme admet une droite ou un plan stable.

[ Édité jeu. déc. 26 2013, 09:04 ]
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oubaydi
jeu. déc. 26 2013, 09:17

Membre enregistré #154
Inscrit(e) le: jeu. déc. 26 2013, 09:09
Messages: 2
bonjour à tous
en découvrant ce sujet sur ce forum, il m'interesse car j'ai des probèmes aves la stabilité, j'ai deux questions:
1) est ce que vous pouvez donner un exemple d'endomorphisme qui n'admet pas de doite stable en dimension 2?
2) Comment on démontre que tout endomorphisme admet une droite ou un plan stable ?
J'ai d'autres questions mais ce n'est pas le bon endroit de mes poser
Merci d'avance pour toute aide de votre part
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AliJouahri
jeu. déc. 26 2013, 09:32

Membre enregistré #133
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Messages: 11
Dans M2(R) une matrice de diagonale nulle , avec a12 = -1 et a21 = 1 n'admet pas de droite stable car , élevée au carré elle est égale à I2 donc son polynome minimal est X²+1 qui n'admet aucune racine dans R donc pas de v.p. pour notre matrice et par conséquent pas de droite stable (car sinon l'image de tout vecteur de cette droite lui serait colinéaire ce qui imposerait l'existence d'une v.p.)
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Mohamed
jeu. déc. 26 2013, 10:43


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Salut,
Pour tes questions, oubaydi, AliJouahri a donné une réponse à la pemière. Il a suggéré la matrice laquelle admet le polynôme caractéristqiue , qui n'a pas de racine réelle.

J'aimerai ajouter que généralement si n est pair, disons: avec , alors la matrice
diagoanle par blocs dont les blocs sont la matrice ci-dessus , a pour polynôme caractéridtique : , donc elle n'admet pas de valeur propre réelle.
Toutefois si est impair, il y'a toujours une vaeur propre réelle.
Seulement la réponse à la question d'existence d'hyperplan stable par se trouve dans l'exercice initial. En effet, si un tel hyperplan existe alors admet une valeur propre, par suite aussi en admet une.

Pour la question 2), Soit un ev de dimension finie non nulle et un endomorphisme de Le polynôme minimal décomposé en produit de facteurs irréductibles s'écrit : avec pour tout , le polynôme est unitaire de degré ou . Ainsi : donc il existe tel que est non injectif.
Si , alors avec et la non injectivité de donne l'existence d'un vecteur tel que et par suite la droite est stable.
Si , écrivons , donc il existe un vecteur non nul tel que de sorte que est stable. Il est clair que .

[ Édité ven. déc. 27 2013, 12:12 ]
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Mohamed
ven. déc. 27 2013, 12:21


Membre enregistré #1
Inscrit(e) le: lun. août 13 2012, 03:56
Messages: 201
Pour la question initiale et pour ne pas tarder là dessus, si admettant un hyperplans stable , soit
1) Rappeler pourquoi .
2) Rappeler pourquoi il existe une forme linéaire sur tel que . On considère cette forme linéaire dorénavant.
3) Pourquoi ? Soit alors démontrer que

[ Édité ven. déc. 27 2013, 12:23 ]
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oubaydi
ven. déc. 27 2013, 12:30

Membre enregistré #154
Inscrit(e) le: jeu. déc. 26 2013, 09:09
Messages: 2
bonsoir
Merci à vous tous pour les réponses : la premiére est facile mais je n'allais pas imaginer la deuxiéme réponse surtout décomposer le polynôme, j'eaaye toujours de la comprendre, par exemple pourqoi il existe j tel que non injectif ?
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