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Endomorphisme normal et stabilité
Modérateurs:Mohamed
Auteur Message
Mohamed
mer. nov. 20 2013, 12:10


Membre enregistré #1
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Soit un espace préhilbertien de dimsnion finie non nul et un endomorphisme de .
On dit que de est normal si
1) Prouver qu'il existe un unique endomorphisme de tel que pour tout et de on a : On l'appelle l'endomorphisme adjoint de
2) Démontrer que pour tout sous-espace vectoriel de on a : est stable si et seulement si est stable.
3) Démontrer que si est normal alors pour tout sous-espace vectoril de on a : est stable si et seulement si est stable.

[ Édité lun. juin 23 2014, 03:37 ]
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nmo
dim. juin 22 2014, 02:09

Membre enregistré #211
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Messages: 11
Mohamed a écrit ...

Soit un espace préhilbertien de dimsnion finie non nul et un endomorphisme de .
On dit que de est normal si
1) Prouver qu'il existe un unique endomorphisme de tel que pour tout et de on a : On l'appelle l'endomorphisme adjoint de
2) Démontrer que pour tout sous-espace vectoriel de on a : est stable si et seulement si est stable.
3) Démontrer que si est normal alors pour tout sous-espace vectoril de on a : est stable si et seulement si est stable.

Le 1) est une question de cours. Je propose une solution pour le 2):
On a: est de dimension finie, et un sous espace vectoriel de . Donc .
Supposons que est -stable, c'est à dire qu'on a .
On a: .
En particulier, on a .
Donc .
Ainsi: , et par conséquent .
Cette proposition implique que: est -stable.
On procède de même pour la réciproque, ce qui achève la démonstration.
Sauf erreurs.

[ Édité lun. juin 23 2014, 04:05 ]
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Mohamed
lun. juin 23 2014, 03:33


Membre enregistré #1
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Salut nmo
Remarquons que tu n'avais pas besoin de l'hypothèse normal.
En fait la question devrait être :
Ce qu tu as démontré ci-dessus est valable pour tout endomorphisme sans aucune hypothèse supplémentaire.
J'ai réctifié l'exercice en ajoutant la question 3), et ta réponse à 2) est correcte.
Essaye la 3)

[ Édité lun. juin 23 2014, 03:39 ]
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nmo
lun. juin 23 2014, 10:09

Membre enregistré #211
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J'ai beau essayé, mais en vain...
En cherchant un peu la solution sur Internet, je me suis rendu compte qu'il fallait passer à exploiter la matrice de .
Je détaille alors la méthode classique, pour que les visiteurs de la page tirent profit:
En supposant par exemple que est -stable, on écrit cette matrice dans une base adaptée à la décomposition: .
La matrice prendra alors la forme: .
On a, d'après l'hypothèse: . Ce qui donne .
L'égalité des deux premiers termes diagonaux donne: .
On aura alors: , d'où .
Et comme: , il s'ensuit que: et puis que .
Cela implique donc que , ou encore que est -stable.
La réciproque se traite de la même façon...
Je me demande s'il y a une méthode sans passer par les matrices?

[ Édité lun. juin 23 2014, 03:03 ]
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Mohamed
lun. juin 23 2014, 01:54


Membre enregistré #1
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Messages: 201
oui, il y'en a :
D'abord en général si est un espace vectoriel, et un sev de . Soit un projecteur de tel que ( ça existe car il suffit de voir que admet au moins un supplémentaire et prendre la projection sur parallélement à ). Alors est stable par si et seulement si .
Revenons à notre cas et soit alors la projection orthogonale de sur .
On doit démontrer que :
.
Remarquons qu'une seule implication suffit car le problème est symétrique.
Il n'est pas aisé de prouver ça directement, une raison de plus: on n'accéde pas à l'hypothèse. Pour cela on va utiliser un moyen auxiliaire qui justement utilise la trace et là on accédera à l'hypothèse car
.
Ce moyen est la norme : qui permet de dire que si alors
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