MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .


Exercice 5011
désigne l'un des corps ou . On considère deux entiers naturels non nuls et tel que et sont isomorphes. Démontrer que .
Commentaire:
Le résultat est vria si est un corps commutatif qui n'est pas de caractéristique .

Exercice 5012
Si avec , la notation (resp. ) veut dire (resp. ) pour tout . La notation veut dire et . Si alors (resp.) (resp. si (resp.) (resp. ).
Soit tel que . désigne le spectre de en tant qu'élément de et . On se propose de prouver que et que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle.
Pour tout on posera : et .
1) Soit: .
Démontrer que est non vide fermé majoré et sa borne supérieure lui appartient.
2) Démontrer que les assertions (i) et (ii) ci-dessosu vérifient : :
(i): et (ii):
En déduire que
3) Montrer que
4) Soit . Démontrer que si est un vecteur propre de associé à alors : .
5) En déduire que .

Exercice 5013
designe ou . Soit . Montrer que:

Exercice 5014
designe ou . Soit . Montrer que:

Exercice 5015
On admet le résultat suivant, traité dans l'exercice 5007, et on peut l'appliquer sans démonstration, dans les questions qui suivent :
Pour toute matrice trigonalisable il existe un unique couple tel que: et et diagonalisable et nilpotente. C'est la décomposition de Dunford de .
1) Résoudre, dans l'équation
2) Résoudre, dans l'équation , donnée et inconnue.
3) Démontrer que de vers est surjective( justifier d'abord que c'est bien une application).
4) Démontrer que de vers n'est pas surjective.
5) Démontrer que