MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .


Exercice 5006
Soient deux matrices carrée réelles de taille et soit l'endomorphisme de tel que pour tout on a . Démontrer que si et sont diagonalisables alors est diagonalisable.

Exercice 5007
Décomposition de Dunford :
Soit un espace vectoriel de dimension finie non nulle et un endomorphisme de tel que le polynôme caractéristique de est ecindé: les valeurs propres deux à deux distinctes de et pour tout est la multiplicité de la valeur propre . Pour tout on pose , les sont appelés les sous-espaces caractéristiques de
1) Prouver que
2) Démontrer que pour tout , le sous-espace caractéristique est non nul et stable par . On note alors et l'endomorphisme de induit par et le polynôme caractéristique de .
3) Démontrer que : .
4) Démontrer que
5) En déduire que .
6) Démontrer qu'il existe un et un seul couple d'endomorphismes tel que :

Exercice 5008
Prouver que Le polynôme ne peut être le polynôme minimal d'une matrice

Exercice 5009
Lemme de Hadamard, disque de Gershgorin
Soit . Pour tout , on pose:
On note le disque ouvert de centre et de rayon et soit
1) On suppose que pour tout ,on a . Montrer que la matrice est inversible.
2) Montrer que
3) On suppose de nouveau que pour tout ,on a . Montrer que:

4) On suppose que et que pour tout ,on a . Montrer que:

Exercice 5010
Soit , et tels que:
.
Montrer que est une valeur propre simple de .