MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .


Exercice 5001
Soit matrice symétrique réelle d'ordre .
1) Montrer qu'il existe un polynôme dans tel que
2) Expliciter pour la matrice:
Commentaire:
l'exercice empiète sur plusieurs chapitres comme: espaces préhilbertiens réels , espaces euclidiens , ...

Exercice 5002
Que dire d'une matrice carrée réelle symétrique tel que ?
Commentaire:
Penser aux valeurs propres de . Elle est symétrique en plus ...

Exercice 5003
Soit tel que
1) Prouver que est inversible et exprimer son inverse en fontion de
2) est elle diagonalisable ?
3) Que dire si on considére dans ?
3) Donner la forme générale du polynôme caractéristique de :
a) Dans le cas
b) Dans le cas
4) Soit : .Donner un exemple d'une matrice tel que et .
Commentaire:
- Equations verifiées par toute valeur propres
- Racines cubiques de ...

Exercice 5004
Soit et l'endomorphisme canoniquement associé à
1) Rappeler la définition de l'endomorphisme canoniquement associé à une matrice en général
2) Calculer le polynôme caractéristique de
3) En déduire que l'on a : et que ces inclusions sont strictes.
4) Calculer et en déduire l'existence de deux vecteurs de tel que est libre et et
5) Démontrer qu'il existe tel que la famille est libre
6) Trigonaliser la matrice .

Exercice 5005
Prouver que les matrices carrées réelles et sont semblables (Indication : polynôme caractéristique, Variations d'une fonction ..)
2) Même question avec et
3) Soit et . Prouver que et sont semblables. En déduire que toutes les matrices carrées réelles de transvection sont semblables.