MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .


Exercice 22004
Soit un groupe et soit une partie finie non vide de tel que :
1) Prouver que est un sous-groupe de
2) En déduire que si est une partie finie non vide de stable par la multiplication des nombres complexes alors il eixste tel que (groupe des racines emmes de l'unité )

Exercice 22005
Soit et les racines emmes de l'unité. Démontrer que : .


Chapitre concerné : Polynômes
Commentaire:
Indication : On pourra pose et remarque que est le produit des pour et , ensuite utliser pour dériver et avoir et par suite : Or justement le produit des vaut le carré de la quantité à calculer.

Exercice 22006
Soit une fonction dérivable sur à valeurs dans tel que :
1) Démontrer que si alors
2) En déduire que si tel que alors sur


Chapitres concernés: Continuité, dérivabilité des fonctions réelles à variable réeelle, Polynômes.
Commentaire:
indication : Considérer la restriction de au segment elle admet un minimum en un certain et alors est un minimume absolu donc car ...
Remarque que

Exercice 22007
Pour tout , on se propose de calculer le determinant :
Pour cela, on pose pour tout :

1) On suppose que tel que fixé. Prouver que pour tout on a et sont des constantes ne dépendant que de et .
2) Expliciter et en fonction de et (On pourra remarquer que pour (rep ) on obtient des matrices triangulaires superieure(resp. inférieure) )
3) En déduire une expression explicite de pour tout tel que
4) Soit . Pour tout , on pose . Calculer : . Que peut on en déduire ?