MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

07- Formes quadratiques


Exercice 7001
Pour touts , on pose et
1) Démontrer que est une forme bilinéaire et qu'elle n'est pas symétrique.
2) q est elle un forme quadratique ?

Exercice 7002
Pour tout , on pose :
1) Justifier que est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
2) Démontrer que le rang de est égal à .
Commentaire:
On pourra par exemple decomposer en combinaison linéaire de carrés de deux formes linéaires idépendantes.( Vous n'êtes pas obligés d'utiliser la méthode de Gauss).

Exercice 7003
Pour tout , on pose:
1) Montrer que est une forme quadratique sur et donner sa forme polaire et sa matrice relativement à la base canonique.
2) L'expression de tel qu'elle est définie ci-dessus est elle une décomposition de Gauss?
3) Determiner le rang et la signature de . Est elle non dégénérée ?

Exercice 7004
Pour tout , on pose:
1) et sont elles non dégénérées?
2) Une base de est dite orthogonale si est la forme polaire de .
a) Donner un exemple de base orthogonale et un eutre de base orthogonale.
b) Existe -t- il une base de à la fois orthogonale et orthogonale ?

Exercice 7005
Pour tout , on pose:
et
1) Effectuer une décomposition de Gauss de et en déduire que sa forme polaire est un produit scalaire sur .
2) Construire une base orthonormale de .
3) Donner la matrice de relativement à .
4) En déduire une base à la fois orthonormale et orthogonale.