MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

05- Réduction des endomorphismes


Exercice 5001
Soit matrice symétrique réelle d'ordre .
1) Montrer qu'il existe un polynôme dans tel que
2) Expliciter pour la matrice:
Commentaire:
l'exercice empiète sur plusieurs chapitres comme: espaces préhilbertiens réels , espaces euclidiens , ...

Exercice 5002
Que dire d'une matrice carrée réelle symétrique tel que ?
Commentaire:
Penser aux valeurs propres de . Elle est symétrique en plus ...

Exercice 5003
Soit tel que
1) Prouver que est inversible et exprimer son inverse en fontion de
2) est elle diagonalisable ?
3) Que dire si on considére dans ?
3) Donner la forme générale du polynôme caractéristique de :
a) Dans le cas
b) Dans le cas
4) Soit : .Donner un exemple d'une matrice tel que et .
Commentaire:
- Equations verifiées par toute valeur propres
- Racines cubiques de ...

Exercice 5004
Soit et l'endomorphisme canoniquement associé à
1) Rappeler la définition de l'endomorphisme canoniquement associé à une matrice en général
2) Calculer le polynôme caractéristique de
3) En déduire que l'on a : et que ces inclusions sont strictes.
4) Calculer et en déduire l'existence de deux vecteurs de tel que est libre et et
5) Démontrer qu'il existe tel que la famille est libre
6) Trigonaliser la matrice .

Exercice 5005
Prouver que les matrices carrées réelles et sont semblables (Indication : polynôme caractéristique, Variations d'une fonction ..)
2) Même question avec et
3) Soit et . Prouver que et sont semblables. En déduire que toutes les matrices carrées réelles de transvection sont semblables.

Exercice 5006
Soient deux matrices carrée réelles de taille et soit l'endomorphisme de tel que pour tout on a . Démontrer que si et sont diagonalisables alors est diagonalisable.

Exercice 5007
Décomposition de Dunford :
Soit un espace vectoriel de dimension finie non nulle et un endomorphisme de tel que le polynôme caractéristique de est ecindé: les valeurs propres deux à deux distinctes de et pour tout est la multiplicité de la valeur propre . Pour tout on pose , les sont appelés les sous-espaces caractéristiques de
1) Prouver que
2) Démontrer que pour tout , le sous-espace caractéristique est non nul et stable par . On note alors et l'endomorphisme de induit par et le polynôme caractéristique de .
3) Démontrer que : .
4) Démontrer que
5) En déduire que .
6) Démontrer qu'il existe un et un seul couple d'endomorphismes tel que :

Exercice 5008
Prouver que Le polynôme ne peut être le polynôme minimal d'une matrice

Exercice 5009
Lemme de Hadamard, disque de Gershgorin
Soit . Pour tout , on pose:
On note le disque ouvert de centre et de rayon et soit
1) On suppose que pour tout ,on a . Montrer que la matrice est inversible.
2) Montrer que
3) On suppose de nouveau que pour tout ,on a . Montrer que:

4) On suppose que et que pour tout ,on a . Montrer que:

Exercice 5010
Soit , et tels que:
.
Montrer que est une valeur propre simple de .

Exercice 5011
désigne l'un des corps ou . On considère deux entiers naturels non nuls et tel que et sont isomorphes. Démontrer que .
Commentaire:
Le résultat est vria si est un corps commutatif qui n'est pas de caractéristique .

Exercice 5012
Si avec , la notation (resp. ) veut dire (resp. ) pour tout . La notation veut dire et . Si alors (resp.) (resp. si (resp.) (resp. ).
Soit tel que . désigne le spectre de en tant qu'élément de et . On se propose de prouver que et que le sous-espace propre associé est une droite vectorielle.
Pour tout on posera : et .
1) Soit: .
Démontrer que est non vide fermé majoré et sa borne supérieure lui appartient.
2) Démontrer que les assertions (i) et (ii) ci-dessosu vérifient : :
(i): et (ii):
En déduire que
3) Montrer que
4) Soit . Démontrer que si est un vecteur propre de associé à alors : .
5) En déduire que .

Exercice 5013
designe ou . Soit . Montrer que:

Exercice 5014
designe ou . Soit . Montrer que:

Exercice 5015
On admet le résultat suivant, traité dans l'exercice 5007, et on peut l'appliquer sans démonstration, dans les questions qui suivent :
Pour toute matrice trigonalisable il existe un unique couple tel que: et et diagonalisable et nilpotente. C'est la décomposition de Dunford de .
1) Résoudre, dans l'équation
2) Résoudre, dans l'équation , donnée et inconnue.
3) Démontrer que de vers est surjective( justifier d'abord que c'est bien une application).
4) Démontrer que de vers n'est pas surjective.
5) Démontrer que

Exercice 5016
Soit et les ensembles :


1) Vérifier que et sont des sous-espaces vectoriels de
2) Determiner les dimensions respectives de et .

Exercice 5017
Soit une matrice carrée de taille (avec ), à coefficients complexes. Démontrer que si les valeurs propres de sont deux à deux distictes alors est semblable à une matrice carrée dont tous les coefficients sont non nuls.

Exercice 5018
Soit . On pose: et où :
Démontrer que n'est pas de dimension finie pour tout

Exercice 5019
Soit et . Etudier les sous-espace vectoriels de stables par
Commentaire:
On remarquera qu'uniquement les plans stables sont non évidents à décrire. On pourra étudier ces plans suivant la nature du polynôme caractéristique de .

Exercice 5020 Indic

Soit et un espace vectoriel de dimension . Soit tel qu'il existe un polynôme tel que . Montrer que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.

Exercice 5021
Soit et un espace vectoriel de dimension . Soit . Montrer que est diagonailsable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de admet un supplémentaire stable par .