MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

20- Formes différentielles


Exercice 20001
Soit une application de classe et la forme différentielle :
1) On suppose que , pour tout Calculer l'intégrale de le lond du chemein orienté avec
2) On revient au cas général: est quelconque.
a) Trouver une équation aux dérivées partielles satisfaite par pour que soit totale.
b) Trouver une application de classe sur tel que et que si et alors est une solution de
c) Calculer est un réel fixé.
d) En déduire pour , la primitive de tel que
3) a) Calculet
b) Trouver toutes les solutions de , en utilisant le changement de variables :
4) Troiver , en utilisant certains des résultats des questions précédentes, les solutions de l'équation différentielle :

Exercice 20002
On considère la forme différentielle:
1) Montrer que n'est pas exacte.
2) Trouver une application tel que soit exacte.

Exercice 20003
On considère le champ vectoriel tel que :
1) Montrer que dérive d'un potentiel.
2) Determiner le potentiel dont dérive tel que .
3) Calculer la circulation de du champs de à .
Commentaire:
Rappelons que si un champs dérive d'un potentiel, alors sa circulation le long d'un chemein ne dépend que des extrémités de ce chemin.

Exercice 20004
On considère la forme différentielle:
1) determiner l plus grand ouvert de sur lequel est bien définie.
2) Calculer est le cercle unité orienté dans le sens direct.
3) La forme différentielle est elle exacte ?

Exercice 20005
Soit et la forme différentielle définie sur par
où pour tout :

1) Montrer que est excate sur
2) Soit l'arc paramétré orienté composé des arcs orientés : dans le sens croissant de ,
, dans le snes croissant de ,
dans le sens décroissant de ,
, dans le sens décroissant de .
En appliquant la formule de Green Riemann pour et , démontrer que :

Exercice 20006
On considère la forme différentielle de degré 1 tel que , pour tout :
1) Prouver que est fermée
2) Comment en déduire que est exacte ?
3) Determiner les primitives de