MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

02- Espaces préhilbertiens


Exercice 2001
Soit un espace euclidien et un projecteur de .
1) Démontrer que est orthogonal si et seulement si est autoadjoint.
2) On suppose que muni de sa structure canonique d'espace euclidien. Donner un exemple de projection orthogonale non triviale (différente de ) et de et vérifier que c'est bien autoadjoint.

Exercice 2002
Soit un espace préhilbertion réel ou complexe de dimension finie non nule et soit un endomorphisme de tel que (on dit que est normal. Démontrer que pour tout sous-espace vectoriel de , on a: est stable par si et seulement si est stable par

Exercice 2003
Soit un espace hermitien. Un endomorphisme de est dit hermitien si :
Soit Démontrer que est hermitien si et seulement si :
Commentaire:
Les espaces préhilbertiens complexes ne sont pas au programme actuel (2014). Un produit hermitien sur un espace vectoriel complexe est une forme sesquilinéaire (à droite ou à gauche suivant la convention adoptée) hermitienne définie positive, donc une application tel que pour tout et tout , on a les points suivants:
  1. (hermitienne)
  2. (sesquilinéaire)
  3. (positive)
  4. (définie)

Exercice 2004
Soit un espace hermitien rapporté à une base othonormale . On considère un endomorphisme de tel que:
Soit la matrice carré tel que pour tout
a)Dmontrer que pour toute valeur propre de on a
b) En déduire que

Exercice 2005
Soit la norme de associée au produit scalaire hermitien usuel. On note également la norme matricielle induite sur qui est définie par :
pour toute matrice . Pour , de coefficients , on introduit aussi :

1) Montrer que est une norme matricielle de .
2) Montrer que n'est pas une norme subordonnée à une norme de , pour tout .
3) Montrer que , pour toute matrice .
4) Montrer que quelle que soit . Cet encadrement est il optimal ?
5) Verifier que pour tout , on a: .
6) Soient avec unitaire. Montrer que :

7) Soit . On note ses valeurs propres.
a) Montre que .
b) On suppose que est normale. Montrer que
8) Soit , hermitienne, positive, de coefficients diagonaux tous égaux à .
a) Montrer que : .
b) Montrer que, sous les hypothèses de la question 8) , les bornes de dans m'encadrement est atteint exclusivement pour les matrices de la forme est un vecteur de dont toutes les composates sont de module .

Exercice 2006
Deux matrices carrées réelles et sont orthogonalement semblables s'il existe une matrice orthogonale tel que Démontrer que pour toute matrice carrée réelle , les matrices et sont orthogonalement semblables.

Exercice 2007
Soit une matrice telle que . Démontrer que .
Commentaire:
indication: On peut utiliser le fait q'une matrice carrée réelle est nulle si et seulement si .

Exercice 2008
Soit muni de sa structure euclidienne canonique et orienté de sorte que la base canonique est directe. Soit .
1) Démontrer que est antisymétrique si et seulement si il existe tel que avec , pour tout .
2) Démontrer que si en plus alors est un vecteur propre de dont on determinera la valeur propre associée . Qeulle est la dimension du sous-espace propre ?
3) Application:
a) Soit une isométrie positive d'angle . Prouver que avec est un vecteur unitaire de .
b) Determiner dans le cas où la matrice de relativement à la base canonique de est :
Commentaire:
Indication: Exprimer dans une base orthonormale directe.