MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

16- Equations différentielles


Exercice 16001
On considère l'équation différentilelle : . Pour tout , on note la solution maximale de tel que .
1) Démontrer que est strictement croissante sur
2) Démontrer que est majoré, soit alors
3) Prouver que :

Exercice 16002
Soit un nombre réel strictement positif et une application continue périodique. On considère l'équation différentielle:
.
Démontrer que admet une solution non nulle tel qu'il existe un nombre complexe tel que:

Exercice 16003
est un nombre réel strictement positif, on pose: . Soit et une application dérivable tel que:

1) Démontrer que :
2) Démontrer que si est symétrique alors est symétrique pour tout

Exercice 16004
On considère le système différentiel :
et soit le système homogène associé.
1) désigne l'un des intervalles ou . Determiner les solutions sur de de la forme: avec .
2) En déduire la solution généale de
3) Résoudre

Exercice 16005
On considère le système différentiel

1) Résoudre le système homogène associé:
a) En résolvant ses équations de proche en proche.
b) En diagonalisant la matrice associée.
2) Résoudre .

Exercice 16006
Résoudre le système différentiel:

Exercice 16007
Pour tout , on considère le problème de Cauchy :
1) a) Justifier le fait que admet une solution maximale unique . Montrer que est un intervalle ouvert borné de .
b) On pose. Démontrer que s'annule une et une seule fois sur (On pourra chercher les limites aux bornes).
2) On suppose dans cette question que
a) Justifier l'existence d'une solution maximale pour
b) Démontrer que est impaire
c) Étudier la monotonie et la concavité de
d) Démontrer que l'intervalle est borné
e) Dresser le tableau de variations de et donner une allure de sa courbe représentative
3) Soit tel que et une fonction continue positive sur un intervalle de . Démontrer que si est une solution maximale du problème de Cauchy :
alors l'intervalle est majoré.

Exercice 16008
Montrer que si est une solution maximale de l'équation différentielle :
sur un intervalle contenu dans alors

Exercice 16009
On considère l'équation différentielle : .
1) Démontrer que amdmet une solution sur dévelappbale en série entière tel que . Exprimer à l'aide d'une fonction usuelle.
2) En utilisant la méthode de Liuoville (abaissement du degré), résoudre sur chacun des intervalles et
3) Montrer que l'eensemble des solutions de sur est un espace vectoriel de dimension finie à determiner.

Exercice 16010
et sont deux application de vers de classe . On considère l'équation différentielle: .
1) Soit une solution non identiquement nulle de .
a) Montrer que les fonctions et ne s'annulent pas simultanément.
b) Montrer que les zeros de sont en nombre fini.
2) Soient et deux solutions linéairement indépendantes de ; on suppose que admet au moins deux zéros et on note et deux zéros consécutifs.
a) Montrer que admet au moins un zéro dans l'intervalle ouvert ( Penser au wronskien).
b) La fonction peut elle avoir plusieurs zeros dans ?

Exercice 16011
Soient: et une application périodique paire de classe et on considère l'équation différentielle:
1) Enoncer le théorème de Cauchy-Lipschitz adapté à .
2) En déduire qu'une solution de est impaire si, et seulement si
3) Prouver, par exemple, à l'aide du wronskien que ne peut admettre un systéme fondamental de solutions constitué de fonctions de même parité.

Exercice 16012
Soit une application de vers continue et integrable et on considère l'équation differetielle:

1) Soit une solution de . Prouver que est une solution de l'équation différentielle :
est à determiner.
2) En déduire que toute solution de est bornée sur .

Exercice 16013
On considère l'équation différentielle:
1) Déterminer une fonction polynomiale solution de sur .
2) Résoudre sur chacun des intervalles .
3) Expliquer pourquoi la seule solution de sur est .

Exercice 16014
On considère un intervalle non trivial de , des applications de vers et l'équation différentielle

1) Démontrer que si est une solution maximale de alors les zéros de sont isolés. [/li]
2) Montrer que si et sont deux solutions maximales de alors soit elles sont proportionnelles soit pour tous zéros de , il existe un zero de tel que