MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

15- Calcul différentiel: plusieurs variables.


Exercice 15001
On considère la fonction définie sur par :
Montrer que est de classe sur .
Commentaire:
Pour pouvoir faire cet exercice, il faut attendre de faire le chapitre : Fonctions de plusieurs variables: différentaibilité ( on commencera ce chapitre après les vaccances: voisinage du 21-2-2012 ). Le cadre général : applications d'un ouvert vers

Exercice 15002
Soit tel que :

Montrer que sur

Exercice 15003
On considère la fonction de vers tel que , pour tout , on aie :

1) Prouver que admet des dérivées partielles sur
2) Prouver que est discontinue au point

Exercice 15004
Soit une fonction de classe dont les fonctions dérivées partielles sont toutes majorée par une constante . Démontrer que : pour tout , on a : (norme euclidienne)

Exercice 15005
Soit et définie par .
1) Démontrer que est différentiable sur et donner sa différetielle en tout point .
2) Démontrer que est un difféomorphisme de vers .
Commentaire:
Remarquer que

Exercice 15006
Hors programme
Soit et munis, chacun, de la norme de convergence uniforme respectivement sur et . Une application est différentiable en un point s'il existe une application linéaire continue et un voisinage tel de dans que : . Soit tel que pour tout , on a : pour tout , . Etudier la différentiabilité de sur .

Exercice 15007
Soit un ouvert de tel que :
Soit et une application. On dit que est homogène de degré si:

1) On suppose que est de classe sur , homogène de degré . Démontrer que les applications et sont homogènes de degré à determiner en fonction de .
2) On suppose que est de classe sur , homogène de degré .
a) Prouver que : (Egalité d'Euler).
b) Démontrer que, réciproquement, si est de classe vérifiant l'égalité d'Euler alors est homogène de degré .
3) Dans cette question, on pose :
a) Verifier que est bien un ouvert de vérifiant la condition ci-dessus.
b) Soit un nombre réel donné. Determiner toutes les applications: de classe , homogènes tel que :
Commentaire:
Indication:
2)a)Pour fixé, poser : et prouver que est l'unique solution de l'equation différentielle avec la condition initiale

Exercice 15008
Soit de classe telle que : et et . Montrer que la relation définit implicitement en fonction de au voisinage de .

Exercice 15009
Soit par:
1) Prouver que admet une dérivée en suivant tout vecteur non nul .
2) Prouver que n'est pas différentiable au point .
3) est elle continue au point ?
Commentaire:
Contre-exemple important: existence des dérivées en ( suivant toute direction sans toutefois avoir la différentiablité en ce point.

Exercice 15010
Soit par:
1) Prouver que admet une dérivée en suivant tout vecteur non nul .
2) Prouver que n'est pas continue au point ?
Commentaire:
Autre contre-exemple important: existence des dérivées au point suivant tout vecteur avec discontinuité de en

Exercice 15011
1) Pour tout , on pose et . Etudier la différentiabilité de et sur en précisant la partie de des points où (rep. ) est différentiable.
2)
Soit et on considère l'espace euclidien muni de sa structure euclidienne canonique. Démontrer que la norme euclidienne associée est différentiable sur l'ouvert et préciser sa différentielle en tout point de .
a)
En utilisant les composées d'applications différentiables
b)
En calculant les dérivées partielles.

Exercice 15012
Soit et définie par . Chercher les extrémas de sur .
Commentaire:
Comme d'habitude on séparera le problème en duex : l'intérieur de et sa frontière. Justifier tout d'abord l'existence des extrémas.

Exercice 15013
On considère l'application définie par:
pour tout .
1) Démontrer que admet en une dérivée suivant tout vecteur non nul
2) Montrer que n'est pas différentiable en

Exercice 15014
On considère les applications de vers définies par :
, ,
1) Montrer que l'ensemble des points où est différentiable est .
2) Démontrer que est de classe sur et qu'elle n'est pas différentiable en mais y est continue.
3) En déduire une étude simillaire de .