MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

14- Intégrales avec paramètre


Exercice 14001

1) Existence de ?
2) Continuité de ?
3) Dérivabilité de ?
4) En intégrant par partie, montrer que vérifie :
5) Trouver f sachant que
Commentaire:
Pour traiter les questions 2), 3), il faut attendre qu'on fasse le chapitre : integhrales avec paramètre.. est un intervalle

Exercice 14002

1) Etablir que : .
2) En déduire que :

Exercice 14003
On admet que
1) Montrer que la fonction définie par est une application de vers
2) Simplifier en utilisant des fonctions usuelles
3) est elle dévelpooable en série entièer au voisinage de ?

Exercice 14004
1) Pour tout , on pose : . Verifier que pour tout , l'application de vers : est continue et que .
2) Montrer que la fonction tel que est continue sur
3) Pour , trouver une relation simple entre et et en déduire un développement asymptotique à deux termes de quand tends vers suivant .
4) Donner un équivalent de quand tends vers .
5) Montrer que
Etablire que pour , on a : . Montrer également que pour tout , on a : .
6) Prouver que pour tout , on a : .
Commentaire:
Si pour tout et tout , on pose : , il ya de façons d'écrire sous la forme d'une somme d'une série :
1ere : Développer en séries entière ...
La deuxième s'obtient en écrivant sous forme de la somme d'une série (voir la définition de l'exponetielle d'un nombre complexe)

Exercice 14005
Dans chacun des cas ci-dessous, on demande de répondre aux qestions suivantes :
1) Determiner l'ensemble de définition de
2) Etudier la continuité de
3) Etudier la dérivabilité de
Les cas :
a)
b)
c)

Exercice 14006

1) Montrer que pour tout nombre réel strictement positif, on a :
En déduire la valeur de l'intégrale :

Exercice 14007
Pour tout entier naturel non nul et tout nombre réel strictement positif , on pose :
1) Calculer la dérivée de la fonction sur
2) En déduire la valeur de

Exercice 14008
Pour tout nombre réel , on pose : et .
1) Montrer que est de classe sur et préciser .
2) Même question pour
3) Montrer que la fonction est constante sur
4) Determiner
5) En déduire .

Exercice 14009
Soit une fonction de classe sur
1) Démontrer que pour tout , on a:
2) En déduire que si alors li existe une fonction g de classe tel que :
3) En déduire que pour tout , si alors il existe une fonction de classe sur tel que :

Exercice 14010
On considère la fonction réelle de variable réell
1) Justifier que l'ensemble de définition de est
2) Démontrer que est continue sur
3) est-elle continue au point ?
4) Prouver que est de classe sur
Commentaire:
Indictaion pour 3):
En remarquant que écrire que pour tout on a : pour tout et et majorer le second terme par une constante et prouver que le premier est majoré aussi.

Exercice 14011
On considère la fonction réelle de variable réelle: .
1) Donner l'ensemble de définition de .
2) Etudier la continuité de sur
3) Etudier la dérivabilité de sur l'intérieur de