MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

11- Suites et séries de fonctions


Exercice 11001
On considère la série de fonctions où pour tout , on pose :
1) Montrer que cette série de fonction converge simplement vers une fonction définie sur
Montrer que est contine sur
2) Montrer que est dérivable sur
est elle dérivable au point ?

Exercice 11002
1) Soit une suite de fonctions polynomilaes qui converge uniformément sur vers une application .
Prouver que est une fonction polynomiale.
2) En déduire que la série dont la limite est la fonction ne converge pas uniformèment sur

Exercice 11003
Soit une suite à valeurs dans tel que la série est convergente. On pose
1) Montrer que f est bien définie sur
2) Montrer que est continue sur
3) Calculer et

Exercice 11004
On considère la suite d'applications de vers tel que .
Démontrer que cette suite converge simplement sur

Exercice 11005
On considère la suite de fonctions tel que pour tout , on aie :
1) Etudier l'ensemble de définition, la continuité et la dérivabilité de
2) Que vaut ?
3) Trouver un équivalent de au voisinage de .

Exercice 11006
Pour tout , on définit la fonction à variable réelle et valeurs réelles et on considère la série de fonctions .
1) Determienr l'ensemble de la convergence simple de cette série. Pour tout , on pose : .
2) Etudier la continuité de et sa dérivabilité sur
3) Proouver que: est le nombre des diviseurs positifs de
4) Donner un équivalent de quand tends vers à gauche.
Commentaire:
Donné dans un oral de l'Ecole Polytechnique.

Exercice 11007
Pour tout , on pose: , pour tout . Soit continue et bornée et la suite d'applications de vers tel que , pour tout .
1) Démontrer que la suite converge vers simplement sur et uniformèment sur tout compact de ?
2) La convergence est-elle uniforme sur ?

Exercice 11008
On considère une suite croissante de réels stictement positifs de limite . On considère alors la suite de fonctions tel que et la série
1) Démontrer que la série converge simplement sur vers une application continue.
2) Démontrer que l'intégrale est convergente et qu'ell vaut
3) Etudier les cas particuliers : i) ; ii)

Exercice 11009
Pour tout , on pose: .
1) Montrer que la série de fonctions converge simplement sur vers une application et que la convergence est uniforme sur tout ensemble de la forme .
2) Démontrer que pour tout on a