MAROC PREPA

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Exercices par chapitres

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01- Espaces vectoriels normés
02- Espaces préhilbertiens
03- Algère linéaire : Rappels et compléments
04- Groupes, anneaux: .
05- Réduction des endomorphismes
06- Dualité
07- Formes quadratiques
08- Integrales généralisées : rappels
09- Séries numériques : Rappels
10- Séries dans un espace vectoriel normé
11- Suites et séries de fonctions
12- Séries entières
13- Séries de Fourier
14- Intégrales avec paramètre
15- Calcul différentiel: plusieurs variables.
16- Equations différentielles
17- Fonctions holomorphes
18- Courbes et surfaces
19- Integrales multiples
20- Formes différentielles
21- Géométrie affine eucldienne
22- Révision générale des notions vues en sup

Mode d'emploi

Les chapitres du programmes sont numérotés selon la liste ci-dessus.

Le code d'un exercice est de la forme xabc où x est un nombre allant de 1 à 22 qui corresponds au numéro du chapitre dans la liste tout en bas de la page et abc un nombre à trois chiffres qui est le numéro d'ordre de l'exercice en question.

Chaque exercice posséde un unique code : il peut par exemple servir pour discuter au forum .

01- Espaces vectoriels normés


Exercice 1001 Indic

et sont deux evn et et et une application. Prouver que est continue sur si et seulement si :

Exercice 1002 Indic

Soit une suite numérique bornée ayant une unique valeur d'adhérence Prouver que la suite est convergente de limite

Exercice 1003 Indic

Pour toute fonction continue sur à valeurs dans , on pose : et .
Soit de classe tel que . Démontrer que

Exercice 1004 Indic

Soit , muni de la nome de la convergence uniforme.
1) Démontrer que l'application tel que: pour tout est lipschitzienne.
2) En déduire que l'ensemble des tel que est un ouvert de .

Exercice 1005 Indic

Soit . Pour tous , on pose :

1) Démontrer que est une semi-norme sur .
2) Démontrer que est une norme si et seulement si l'ensemble des zéros de est d'intérieur vide.

Exercice 1006 Indic

Soit muni de la nome de convergence uniforme. Soit

1) Démontrer que est un fermé de
2) Démontrer que est d'interieur vide.

Exercice 1007 Indic

Soit un espace vectoriel normé. On considére un compact non vide de et un ouvert non vide de tel que Démontrer qu'il existe un ouvert de tel que : et

Exercice 1008 Indic

Soit un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et une partie ouverte non vide de . Démontrer qu'il existe une famille croissante de compacts de tel que .

Exercice 1009 Indic

est un evn et et deux parties non vides, fermées et disjointes de .
1) Démontrer qu'il existe deux ouverts et de tel que et et .
2) Démontrer qu'il existe une application tel que :
(i) est continue sur
(ii)
(iii)
(iv)

Exercice 1010 Indic

Soit un espace vectoriel normé et une partie non vide de ouverte,convexe, borné et symétrique (c'est-à-dire: ). Pour tout , on pose:

1) Prouvetr que est une norme de .
2) Montrer que est la boule unité ouverte de .

Exercice 1011
Soit un evn de dimension finie non nulle, une partie non vide compacte de . On designe par l'ensemble des endomorphismes tel que
Démontrer que est un compact de si et seulement si

Exercice 1012
On considère un espace vectoriel normé de dimension finie et soit tel que : . Prouver que .

Exercice 1013
Soit un espace vectoriel sur tel que pour toute norme de , l'espace vectoriel normé est complet. Démontrer que est de dimension finie.

Exercice 1014
Soit un espace vectoriel normé.
1) Démontrer que si est un sous-espace vectoriel strict de ( c'est-à-dire ) alors est d'interieur vide.
2) En déduire que si est une partie de d'interieur non vide alors

Exercice 1015
Soit un espace vectoriel normé. Pour toute partie non vide de et tout , on pose
1) Démontrer que est une application lipschitzienne de vers .
2) Montrer que l'application de vers n'est pas injective et que sa restriction à l'ensemble des parties non vides fermées de est injective.
3) Montrer que si est une partie non vide convexe de alors l'application est convexe, c'est-à- dire qu'elle vérifie: