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Division euclidienne

Publié : jeu. août 13, 2020 8:54 pm
par Question
Soient $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls et $m$ le plus petit entier naturel non nul tel que $y$ divise $mx$. Prouver que $m$ divise $y$.

Re: Division euclidienne

Publié : jeu. août 13, 2020 8:55 pm
par Réponse
La division euclidienne de $y$ par $m$ s'écrit $y=mq+r$ avec $0\leq r < m$. Notre objectif est de prouver que $r=0$. On a $rx=yx-mqx$ et comme $y|mx$, il existe $k\in \N$ tel que $mx=ky$, donc $rx=yx-qky=y(x-qk)$, donc $y|rx$ et par minimalité de $m$ et le fait que $r < m$, on a $r=0$.