Division euclidienne

Tout comme le cas du forum du supérieur, ce forum qui fait suite au système QR pour les mathématiques au lycée va permettre de poser des questions particulièrement non bien comprises afin d'en rendre des détails plus fins et des constatations qui pourraient faciliter le plus possible la tâche de compréhension.
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Question
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Division euclidienne

Message par Question »

Soient $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls et $m$ le plus petit entier naturel non nul tel que $y$ divise $mx$. Prouver que $m$ divise $y$.
Dernière modification par Question le jeu. août 13, 2020 8:56 pm, modifié 1 fois.

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Réponse
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Re: Division euclidienne

Message par Réponse »

La division euclidienne de $y$ par $m$ s'écrit $y=mq+r$ avec $0\leq r < m$. Notre objectif est de prouver que $r=0$. On a $rx=yx-mqx$ et comme $y|mx$, il existe $k\in \N$ tel que $mx=ky$, donc $rx=yx-qky=y(x-qk)$, donc $y|rx$ et par minimalité de $m$ et le fait que $r < m$, on a $r=0$.

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