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déterminant et récurrence

Publié : sam. août 08, 2020 6:04 pm
par Question
Soit $n$ un entier naturel non nul et $a_0,\dots,a_n$ des nombres réels.
Montrer que: $\Delta(a_0,\dots,a_n)=\left|\begin{array}{ccccc}-\lambda&0&\dots&0&a_n\\0&-\lambda&&&\vdots\\\vdots&&\ddots&&a_2\\ 0&&&-\lambda&a_1\\a_n&\dots&a_2&a_1&a_0-\lambda\end{array}\right|=(-\lambda)^{n-1} \left(\lambda^2-a_0\lambda-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right).$
Noter qu'il s'agit d'un déterminent d'une matrice carrée d'ordre $n+1$.

Re: déterminant et récurrence

Publié : dim. août 16, 2020 11:26 am
par Réponse
Si $n=1$, on a $\Delta(a_0,a_1)= \begin{vmatrix}-\la&a_1\\a_1&a_0-\la\end{vmatrix}=\la(\la-a_0)-a_1^2=\la^2-a_0\la-a_1^2=(-\la)^{1-1}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^1 a_k^2\right)$.
Soit $n\in\N^*$ tel que la proprièté en question est vraie pour tout $(a_0,a_1,\dots,a_{n})\in\N^{n+1}$. Soit $(a_0,a_1,\dots,a_n,a_{n+1})\in\N ^{n+2}$, alors $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=\begin{vmatrix}-\la&0&\dots&0&a_{n+1}\\0&-\la&&&\vdots\\\vdots&&\ddots&&a_2\\0&&&-\la&a_1\\a_{n+1}&\dots&a_2&a_1&a_0-\la\end{vmatrix}$. En développant suivant la première colonne il vient: $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n})+ (-1)^n a_{n+1} D_n$ avec $D_n=\begin{vmatrix}0&0&\dots&0&a_{n+1}\\-\la&0&\dots&0&a_n\\0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0& a_2\\ 0&\dots&0&-\la&a_1\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}a_{n+1}\begin{vmatrix} -\la&0&\dots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&-\la\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}a_{n+1}(-\la)^{n}$.
Compte tenu de cette dernière formule et l'hypothèse de récurrence, on a donc: $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right)+(-1)^n(-1)^{n+1}a_{n+1}^2(-\la)^{n}=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right)-a_{n+1}^2(-\la)^{n-1}$, donc finalement $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k^2\right)$. Par le principe de récurrence on a la formule demandée.