Une norme

Le système question réponse n'est pas comme la rubrique des exercices car ici il est possible de poser toutes les questions mathématiques qui vous préoccupent, même des questions de cours par exemple: Le fait d'isoler une question sur un sujet permet de le zoomer plus et par suite de constater d'autres détails qui n'auraient pas pu être perçus à l'occasion de la lecture de son cours ...
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Question
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Une norme

Message par Question »

Soit $(E,\|.\|)$ un espace vectoriel normé et $F$ un espace vectoriel. On considère une application linéaire surjective $u\in\mcl(E,F)$ et on lui associe l'application $N_u:F\to\R_+; y\mapsto N_u(y)=\inf\limits_{\substack{x\in E \\u(x)=y}} \|x\|$.
  1. Montrer que $N_u$ est une semi-norme sur $F$.
  2. Montrer que si $N_u$ est un norme alors $u$ est continue de $(E,\|.\|)$ vers $(F,N_u)$
  3. Montrer que $N_u$ est une norme si et seulement si $\ker u$ est fermé.

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