déterminant et récurrence

Le système question réponse n'est pas comme la rubrique des exercices car ici il est possible de poser toutes les questions mathématiques qui vous préoccupent, même des questions de cours par exemple: Le fait d'isoler une question sur un sujet permet de le zoomer plus et par suite de constater d'autres détails qui n'auraient pas pu être perçus à l'occasion de la lecture de son cours ...
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Question
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déterminant et récurrence

Message par Question »

Soit $n$ un entier naturel non nul et $a_0,\dots,a_n$ des nombres réels.
Montrer que: $\Delta(a_0,\dots,a_n)=\left|\begin{array}{ccccc}-\lambda&0&\dots&0&a_n\\0&-\lambda&&&\vdots\\\vdots&&\ddots&&a_2\\ 0&&&-\lambda&a_1\\a_n&\dots&a_2&a_1&a_0-\lambda\end{array}\right|=(-\lambda)^{n-1} \left(\lambda^2-a_0\lambda-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right).$
Noter qu'il s'agit d'un déterminent d'une matrice carrée d'ordre $n+1$.

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Réponse
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Re: déterminant et récurrence

Message par Réponse »

Si $n=1$, on a $\Delta(a_0,a_1)= \begin{vmatrix}-\la&a_1\\a_1&a_0-\la\end{vmatrix}=\la(\la-a_0)-a_1^2=\la^2-a_0\la-a_1^2=(-\la)^{1-1}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^1 a_k^2\right)$.
Soit $n\in\N^*$ tel que la proprièté en question est vraie pour tout $(a_0,a_1,\dots,a_{n})\in\N^{n+1}$. Soit $(a_0,a_1,\dots,a_n,a_{n+1})\in\N ^{n+2}$, alors $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=\begin{vmatrix}-\la&0&\dots&0&a_{n+1}\\0&-\la&&&\vdots\\\vdots&&\ddots&&a_2\\0&&&-\la&a_1\\a_{n+1}&\dots&a_2&a_1&a_0-\la\end{vmatrix}$. En développant suivant la première colonne il vient: $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n})+ (-1)^n a_{n+1} D_n$ avec $D_n=\begin{vmatrix}0&0&\dots&0&a_{n+1}\\-\la&0&\dots&0&a_n\\0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0& a_2\\ 0&\dots&0&-\la&a_1\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}a_{n+1}\begin{vmatrix} -\la&0&\dots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&-\la\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}a_{n+1}(-\la)^{n}$.
Compte tenu de cette dernière formule et l'hypothèse de récurrence, on a donc: $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right)+(-1)^n(-1)^{n+1}a_{n+1}^2(-\la)^{n}=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2\right)-a_{n+1}^2(-\la)^{n-1}$, donc finalement $\Delta(a_0,a_1,\dots,a_{n+1})=(-\la)^{n}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^{n+1} a_k^2\right)$. Par le principe de récurrence on a la formule demandée.

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