Division euclidienne

Ce forum est consacré aux exercices et problèmes du niveau lycée: tronc commun, première et deuxième bac, toutes les sections, mathématiques, Sciences physiques , sciences de la vie et la terre, économique, et technique.
Mohamed
Site Admin
Messages : 13
Inscription : ven. juil. 17, 2020 7:03 pm

Division euclidienne

Message par Mohamed »

Soient $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls et $m$ le plus petit entier naturel non nul tel que $y$ divise $mx$. Prouver que $m$ divise $y$.

Mohamed
Site Admin
Messages : 13
Inscription : ven. juil. 17, 2020 7:03 pm

Re: Division euclidienne

Message par Mohamed »

La division euclidienne de $y$ par $m$ s'écrit $y=mq+r$ avec $0\leq r < m$. Notre objectif est de prouver que $r=0$. On a $rx=yx-mqx$ et comme $y|mx$, il existe $k\in \N$ tel que $mx=ky$, donc $rx=yx-qky=y(x-qk)$, donc $y|rx$ et par minimalité de $m$ et le fait que $r < m$, on a $r=0$.

Répondre