Trigonalisation d'une matrice d'ordre 3

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Mohamed
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Trigonalisation d'une matrice d'ordre 3

Message par Mohamed »

Trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1&0\\-4&-1&0\\4&-8&-2\end{pmatrix}$

Mohamed
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Re: Trigonalisation d'une matrice d'ordre 3

Message par Mohamed »

Le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_A=(X+2)(X-1)^2$. Les sous-espaces propres: $E_{-2}(A)=\text{Vect}(V_1)$ et $E_1(A)=\text{Vect}(V_2)$, avec $V_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $V_2=\begin{pmatrix}3\\-6\\20\end{pmatrix}$. Par le théorème de la base incomplète, il existe un vecteur $V_3$ pris dans la base canonique tel que $(V_1,V_2,V_3)$ est une base de trigonalisation de $A$. En fait, par un simple calcul de determinant on voit que $V_3=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ covient et si on nomme $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$, il est clair que $u(V_1)=-2 V_1$ et que $u(V_2)=V_2$ et $u(V_3)=V_3+\al V_1+ \beta V_2$ avec $\al,\beta\in\R$ et on obtient en remarquant que $u(V_3)=\begin{pmatrix}3\\-4\\4\end{pmatrix}$ que $\al=-\frac{28}{3}$ et $\beta=\frac{2}{3}$. Il vient que $A=PTP^{-1}$ avec $T=\begin{pmatrix}-2&0&-\frac{28}{3} \\ 0&1&\frac{2}{3}\\0&0&1\end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix}0&3&1\\0&-6&0\\1&20&0\end{pmatrix}$ et $P^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{10}{3}&1\\0&-\frac{1}{6}&0\\1&\frac{1}{2}&0\end{pmatrix}$.

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