Termes diagonaux d'un produit de matrices trinagulaires

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Question
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Inscription : mer. août 05, 2020 7:16 pm

Termes diagonaux d'un produit de matrices trinagulaires

Message par Question »

Commet prouver que si $A$ et $B$ sont deux matrices triangulaires supérieures et $C=AB$ alors pour tout $i\in [\![1,n]\!]$, le $i^{\text{èm}}$ terme diagonal $c_{i,i}$ de $C=AB$ est égal à $a_{i,i}b_{i,i}$ où $a_{i,i}$ et $b_{i,i}$ sont les $i^{\text{èms}}$ termes diagonaux respectifs de $A$ et $B$ ?

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Réponse
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Inscription : mer. août 05, 2020 7:17 pm

Re: Termes diagonaux d'un produit de matrices trinagulaires

Message par Réponse »

Tu appliques $c_{i,i}= \sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,i}$ ensuite tu remarques que si $k < i$ alors $a_{i,k}=0$ et si $ k > i $ alors $b_{k,i}=0$. Or $c_{i,i}=a_{i,i}b_{i,i}+\sum\limits_{\substack{1\leq k \leq n \\ k < i}} a_{i,k}b_{k,i}+\sum\limits_{\substack{1\leq k \leq n \\ k > i}} a_{i,k}b_{k,i}=a_{i,i}b_{i,i}$.

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