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Dérivabilité

Publié : dim. août 16, 2020 6:16 pm
par Question
Soit $f:[a,b]\to\R$ une application deux fois dérivable tel que $f(a)=f'(a)$ et $f(b)=f'(b)$. Démontrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f''(c)=f(c)$.

Re: Dérivabilité

Publié : lun. août 17, 2020 11:21 am
par Réponse
Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $g:[a,b]\to\R; t\mapsto g(t)=(f(t)-f'(t))e^t$. Il est clair que $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ ( elle est même dérivable sur le segment $[a,b]$), et on a $g(a)=g(b)=0$ puisque $f(a)=f'(a)$ et $g(a)=g'(a)$. Il en découle qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $g'(c)=0$. Or pour tout $t\in [a,b]$, on a $g'(t)=(f(t)-f''(t)) e^t$, donc $f''(c)=f(c)$.