Dérivabilité

Généralités, monotonie, continuité, dérivabilité, théorème des valeurs intermédiaires, théorème des accroissements finis, théorème de Rolle, étude de fonctions, fonctions usuelles...
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Question
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Dérivabilité

Message par Question »

Soit $f:[a,b]\to\R$ une application deux fois dérivable tel que $f(a)=f'(a)$ et $f(b)=f'(b)$. Démontrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f''(c)=f(c)$.

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Réponse
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Re: Dérivabilité

Message par Réponse »

Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $g:[a,b]\to\R; t\mapsto g(t)=(f(t)-f'(t))e^t$. Il est clair que $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ ( elle est même dérivable sur le segment $[a,b]$), et on a $g(a)=g(b)=0$ puisque $f(a)=f'(a)$ et $g(a)=g'(a)$. Il en découle qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $g'(c)=0$. Or pour tout $t\in [a,b]$, on a $g'(t)=(f(t)-f''(t)) e^t$, donc $f''(c)=f(c)$.

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