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lun. août 17, 2020 11:21 am
Forum : Fonctions réelle à variable réelle
Sujet : Dérivabilité
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Re: Dérivabilité

Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $g:[a,b]\to\R; t\mapsto g(t)=(f(t)-f'(t))e^t$. Il est clair que $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ ( elle est même dérivable sur le segment $[a,b]$), et on a $g(a)=g(b)=0$ puisque $f(a)=f'(a)$ et $g(a)=g'(a)$. Il en découle ...
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dim. août 16, 2020 11:26 am
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : déterminant et récurrence
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Re: déterminant et récurrence

Si $n=1$, on a $\Delta(a_0,a_1)= \begin{vmatrix}-\la&a_1\\a_1&a_0-\la\end{vmatrix}=\la(\la-a_0)-a_1^2=\la^2-a_0\la-a_1^2=(-\la)^{1-1}\left(\la^2-a_0\la-\sum\limits_{k=1}^1 a_k^2\right)$. Soit $n\in\N^*$ tel que la proprièté en question est vraie pour tout $(a_0,a_1,\dots,a_{n})\in\N^{n+1}$. Soit $(a...
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sam. août 15, 2020 9:37 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Les sinus itérés
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Re: Les sinus itérés

Indication: Montrer que $(u_n)$ est décroissante minorée, donc converge, ensuite prouver que sa limite c'est $0$, ce qui permet d'écrire $u_{n+1}=\sin(u_n)=u_n-\frac{u_n^3}{6}+ o(u_n^3)$. Chercher un nombre réel $\al$ tel que $u_{n+1}^{\al}-u_n^{\al} \sim c$ avec $c$ est une constante non nulle et a...
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sam. août 15, 2020 9:32 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Exemple de fonction non CM et bornée
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Re: Exemple de fonction non CM et bornée

Oui. Prenons $f:[0,1]\to\R;x\mapsto\left\{\begin{array}{l}\sin\left(\frac 1x \right)\;\text{si}\; 0<x\leq 1 \\ 0 \; \text{si}\; x= 0 \end{array}\right.$. On voit que $f$ est continue sur $]0,1]$ sans problème, mais $f$ n'admet pas de limite quand $x$ tends vers $0$ à droite, donc $f$ n'est pas conti...
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sam. août 15, 2020 7:34 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Rang d'une matrice diagonale
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Re: Rang d'une matrice diagonale

Notons $r=\sharp\{k\in[\![1,n]\!]/\la_k\neq 0\}$. $\bullet$ Si $r=0$ alors les $\la_k$ sont tous nuls alors $D=O$ et $\text{rg}(A)=0=r$. $\bullet$ Si $r=n$ alors tous les $\la_k$ sont non nuls, donc $\det(D)=\prod\limits_{k=1}^n \la_k\neq 0$, donc $D$ est inversible et $\text{rg}(D)=n=r$. $\bullet$ ...
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sam. août 15, 2020 7:19 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Rang d'une matrice triangulaire
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Re: Rang d'une matrice triangulaire

Non. En effet si $T=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ alors $\text{rg}(T)=2$ mais un seul terme diagonal est non nul.
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jeu. août 13, 2020 8:55 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques au lycée
Sujet : Division euclidienne
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Re: Division euclidienne

La division euclidienne de $y$ par $m$ s'écrit $y=mq+r$ avec $0\leq r < m$. Notre objectif est de prouver que $r=0$. On a $rx=yx-mqx$ et comme $y|mx$, il existe $k\in \N$ tel que $mx=ky$, donc $rx=yx-qky=y(x-qk)$, donc $y|rx$ et par minimalité de $m$ et le fait que $r < m$, on a $r=0$.
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jeu. août 06, 2020 4:32 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : injective, surjective, conditions, ...
Réponses : 1
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Re: injective, surjective, conditions, ...

Si on donne la solution bien rédigée, elle ne va pas fournir au lecteur un bon support de motivation, on essayera don de donner une série de remarques qui pourraient aider les personnes qui posent la question à trouver eux mêmes des idées pour en donner la réponse complète.
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jeu. août 06, 2020 12:26 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Sous-algèbre
Réponses : 1
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Re: Sous-algèbre

Oui car c'est un sous-espace vectoriel de $\mcm_n(\R)$ et le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure et finalement la matrice $I_n$ est une matrice triangulaire supérieure.
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jeu. août 06, 2020 12:23 pm
Forum : Question Réponse Mathématiques supérieures
Sujet : Déterminant de Vandermonde
Réponses : 1
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Re: Déterminant de Vandermonde

Si $a=(a_0,\dots,a_{n-1})\in\K^n$, on note $a_{i,j}=a_{i-1}^{j-1}$ pour tout $i,j\in \{1,\dots,n\}$ et $M(a)$ la matrice $(a_{i,j})_{i,j\in \{1,\dots,n\}}$. Le déterminant $V(a)=\det(M(a))$ s'appelle le déterminant de Vandermonde de $a$. On a $V(a)=\prod\limits_{0 \leq i < j \leq n-1}(a_j-a_i)$.