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La division euclidienne de $y$ par $m$ s'écrit $y=mq+r$ avec $0\leq r < m$. Notre objectif est de prouver que $r=0$. On a $rx=yx-mqx$ et comme $y|mx$, il existe $k\in \N$ tel que $mx=ky$, donc $rx=yx-qky=y(x-qk)$, donc $y|rx$ et par minimalité de $m$ et le fait que $r < m$, on a $r=0$.

Soient $x$ et $y$ des entiers naturels non nuls et $m$ le plus petit entier naturel non nul tel que $y$ divise $mx$. Prouver que $m$ divise $y$.

Le polynôme caractéristique de $A$ est $\chi_A=(X+2)(X-1)^2$. Les sous-espaces propres: $E_{-2}(A)=\text{Vect}(V_1)$ et $E_1(A)=\text{Vect}(V_2)$, avec $V_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $V_2=\begin{pmatrix}3\\-6\\20\end{pmatrix}$. Par le théorème de la base incomplète, il existe un vecteu...

Trigonaliser la matrice $A=\begin{pmatrix}3&1&0\\-4&-1&0\\4&-8&-2\end{pmatrix}$

Pouvez vous donner une méthode pratique avec preuve pour trigonaliser la matrice $B=\begin{pmatrix}3&-5&2&-6\\0&5&0&4\\-2&7&-1&11\\0&-4&0&-3\end{pmatrix}$ ?

On considère deux $\K-$ev $E$ et $F$ et on suppose qu'il existe deux applications linéaires surjectives $\phi$ et $\psi$ de $E$ vers $F$.
Démontrer que $\ker \phi=\ker \psi \eq \exists u\in \textbf{GL}(F),\quad \psi=u\circ \phi$.

$\def\tr{\text{tr}}\def\rg{\text{rg}}\def\diag{\text{diag}}$Si $A=0$, la relation est claire. Si $0< \rg(A) < n$, la matrice $A$ étant symétrique réelle, elle est diagonalisable et admet une liste de valeurs propres réelles comptées avec leur ordre de multiplicité $\la_1,\dots, \la_r, \la_{r+1},\dot...

Soit $n\in \N^*$ et $A\in\mcs_n(\R)$. Démontrer que $(\text{tr}(A))^2 \leq \text{rg}(A)\text{tr}(A^2)$.

Qeuelle est la forme générale des polynômes $P\in\R[X]$ tel que $P'|P$ ?

On note $\mathfrak{S}(\N)$ l'ensemble des permutations de $\N$. Démontrer que $\mathfrak{S}(\N)$ n'est pas dénombrable.